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Applications2008-Jun-11

Applications

Les fonctions et les applications sont des correspondances entre ensembles. Pour définir une fonction $ f$ , il faut d'abord un ensemble de départ $ E$ (la source) et un ensemble d'arrivée $ F$ (le but). Il faut ensuite un sous-ensemble $ \Gamma$ du produit cartésien de $ E\times F$ , c'est-à-dire un ensemble de couples $ (x,y)$ où $ x\in E$ et $ y\in F$ . L'ensemble $ \Gamma$ s'appelle le graphe de la fonction. La règle de base est qu'un élément de $ E$ ne peut pas correspondre à deux éléments de $ F$ . Ceci s'écrit :

$\displaystyle \Big(((x,y)\in\Gamma)\wedge((x,z)\in \Gamma)\Big) \;\Longrightarrow\; y=z\;. $

 

La donnée de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et du graphe définit la fonction $ f$ . Si $ (x,y)\in \Gamma$ , on dit que $ y$ est l'image de $ x$  : $ y=f(x)$ . La notation standard pour une fonction est la suivante.

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} &f&\\ E&\longrightarrow&F\\ x& \longmapsto& f(x) \end{array}\end{displaymath}

 

Elle se lit «fonction $ f$ de $ E$ vers $ F$ qui à $ x$ associe $ f(x)$ ».

On utilise le plus souvent fonction et application comme des synonymes. En toute rigueur une application est une fonction telle que tout élément de l'ensemble de départ admet une image (et une seule). Pour une fonction, le sous-ensemble de l'ensemble de départ formé des éléments qui ont effectivement une image s'appelle le domaine de définition. Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux applications.

 

 

Définition 3   Soient $ E$ et $ F$ deux ensembles et $ f$ une application de $ E$ dans $ F$ .
  1. Soit $ A$ un sous-ensemble de $ E$ . On appelle image de $ A$ par $ f$ et on note $ f(A)$ l'ensemble des images des éléments de $ A$ .

    $\displaystyle f(A) = \{ y\in F\;;\quad \exists x\in A ,\;f(x)=y \}\;. $

     

  2. Soit $ B$ un sous-ensemble de $ F$ . On appelle image réciproque de $ B$ par $ f$ et on note $ f^{-1}(B)$ l'ensemble des éléments de $ E$ dont l'image appartient à $ B$ .

    $\displaystyle f^{-1}(B) = \{ x\in E\;;\quad f(x)\in B \}\;. $

     

 

Attention à la notation $ f^{-1}$  : elle ne signifie pas que $ f$ est inversée. C'est une convention pour désigner un sous-ensemble de l'espace de départ. Un élément $ x$ de $ E$ tel que $ f(x)=y$ s'appelle un antécédent de $ y$ . D'après la définition 3, l'ensemble des antécédents de $ y$ est $ f^{-1}(\{y\})$ .

Soit $ E=\{0,1,2,3\}$ et $ F=\{0,1,2\}$ . Considérons l'application qui à un nombre associe le reste de sa division euclidienne par 2 : 0 s'il est pair, 1 s'il est impair. Le graphe de cette application est :

$\displaystyle \Gamma = \{ (0,0),(1,1),(2,0),(3,1) \}\;. $

 

Il est parfois commode de représenter un graphe par un ensemble de flèches entre deux diagrammes de Venn (figure 2). L'image de $ \{0,2\}$ est le singleton $ \{0\}$ . L'image réciproque de $ \{1\}$ est $ \{1,3\}$ . L'image réciproque de $ \{2\}$ est l'ensemble vide.
Figure 2: Représentation graphique d'une application de $ \{0,1,2,3\}$ vers $ \{0,1,2\}$ .
\includegraphics[width=7cm]{appl}
Soient $ E$ , $ F$ , et $ G$ trois ensembles, $ f$ une application de $ E$ vers $ F$ et $ g$ une application de $ F$ vers $ G$ . On définit la composée de $ f$ par $ g$ , notée $ g\circ f$ , comme l'application de $ E$ vers $ G$ qui à $ x$ associe $ g\circ f(x)=g(f(x))$ . Attention à l'ordre des applications dans l'écriture $ g\circ f$  : c'est l'ordre inverse des flèches dans le schéma ci-dessous.

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccl} &f&&g&\\ E&\longrightarrow&F&\longrigh... ...\longmapsto&f(x)&\longmapsto&g\circ f(x)=g(f(x))\;. \end{array}\end{displaymath}

 

 

 

Définition 4   Soient $ E$ et $ F$ deux ensembles et $ f$ une application de $ E$ vers $ F$ . On dit que $ f$ est :
  1. injective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent dans l'ensemble de départ.

    $\displaystyle \forall x_1,x_2\in E\;,\quad \Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\;\Longrightarrow\; x_1=x_2\;. $

     

  2. surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent dans l'ensemble de départ.

    $\displaystyle \forall y\in F ,\;\exists x\in E \;;\quad\; f(x)=y\;. $

     

  3. bijective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent dans l'ensemble de départ.

 

Une application bijective, ou bijection, est donc à la fois injective et surjective (voir figure 3).
Figure 3: Représentations graphiques d'une injection, d'une surjection et d'une bijection.
\includegraphics[width=5cm, height=4cm]{injsurj1} \includegraphics[width=5cm, height=4cm]{injsurj2} \includegraphics[width=5cm, height=4cm]{injsurj3}

Voici comment les applications injectives, surjectives et bijectives se comportent vis-à-vis de la composition. La démonstration de cette assertion est laissée au lecteur à titre d'exercice.

 

Proposition 3   Soient $ E$ , $ F$ , et $ G$ trois ensembles, $ f$ une application de $ E$ vers $ F$ et $ g$ une application de $ F$ vers $ G$ .
  1. Si $ f$ et $ g$ sont injectives alors $ g\circ f$ est injective.
  2. Si $ f$ et $ g$ sont surjectives alors $ g\circ f$ est surjective.
  3. Si $ f$ et $ g$ sont bijectives alors $ g\circ f$ est bijective.
  4. Si $ g\circ f$ est injective alors $ f$ est injective.
  5. Si $ g\circ f$ est surjective alors $ g$ est surjective.

 

Si une application de $ E$ vers $ F$ est bijective, tout élément de $ F$ a un antécédent et un seul. On peut alors définir l'application réciproque de $ f$ , notée $ f^{-1}$  :

$\displaystyle f(x) = y \;\Longleftrightarrow\; x=f^{-1}(y)\;. $

 

Si $ f$ est bijective, la composée de $ f$ par son application réciproque $ f^{-1}$ est l'application qui à $ x$ associe $ x$ , de $ E$ vers $ E$ . On l'appelle application identique, ou identité.

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccl} &f&&f^{-1}&\\ E&\longrightarrow&F&\lon... ...f(x)&\longmapsto&f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=x\;. \end{array}\end{displaymath}

 

Les notations pour l'application réciproque et pour l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée $ F$ sont liées par la relation :

$\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}\;.$

 

On prendra garde au fait que si l'image réciproque d'une partie est définie pour toute application, l'application réciproque, quant à elle, n'est définie que pour une application bijective
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Quantificateurs2008-Jun-11

Quantificateurs

Les quantificateurs sont les deux symboles $ \forall$ «quel que soit»  et $ \exists$ «il existe». On les utilise pour des énoncés du type :

 

$\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} ,\;\exists m\in \mathbb{N}\;;\quad n<m\;.$ (22)

 

Cette formule se lit : quel que soit $ n$ appartenant à $ \mathbb{N}$ , il existe $ m$ appartenant à $ \mathbb{N}$ tel que $ n<m$ . Soit encore : pour tout entier $ n$ , il existe un entier $ m$ strictement plus grand que $ n$ . Il est crucial de retenir que dans ce cas l'entier $ m$ peut dépendre de l'entier $ n$ . Cette assertion est vraie : pour tout $ n$ , le nombre $ m=n+1$ vérifie bien $ n<m$ .

L'ordre dans lequel on écrit les quantificateurs est très important. Echangeons dans (22) les deux quantificateurs.

$\displaystyle \exists m\in \mathbb{N}\;;\quad\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad n<m\;. $

 

Cette assertion se lit : il existe un entier $ m$ tel que tout entier $ n$ vérifie $ n<m$ (ce qui est faux).

Pour écrire la négation d'une assertion comportant des quantificateurs on change les $ \forall$ en $ \exists$ et les $ \exists$ en $ \forall$ , puis on écrit la négation de l'assertion qui suit la liste des quantificateurs. Ceci est tout à fait conforme à l'intuition. La négation de «tout les $ x$ vérifient $ A$ »  est bien «il existe un $ x$ qui ne vérifie pas $ A$ ». La négation de «il existe un $ x$ qui vérifie $ A$ »  est bien «aucun $ x$ ne vérifie $ A$ »  soit encore «tous les $ x$ vérifient $ \neg A$ ». Ecrivons par exemple la négation de l'assertion (22).

$\displaystyle \exists n\in\mathbb{N} \;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\; (n\geqslant m)\;. $

 

Il existe un entier $ n$ supérieur ou égal à tout entier $ m$ (ce qui est faux).

Attention, les quantificateurs ne sont pas toujours distributifs par rapport à «et»  et «ou». Par exemple, «il existe un entier supérieur à 7 et inférieur à 6»  (faux) n'est pas équivalent à «il existe un entier supérieur à 7 et il existe un entier inférieur à 6»  (vrai). De même «tout entier est inférieur ou égal à 6, ou bien supérieur ou égal à 7»  (vrai) n'est pas équivalent à «tout entier est inférieur ou égal à 6 ou tout entier est supérieur ou égal à 7»  (faux).

Nous commettrons souvent l'abus de notation consistant à regrouper des quantificateurs de même nature. Par exemple :

$\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} ,\;\forall m\in \mathbb{N}\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;, $

 

que l'on pourrait aussi écrire

$\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb{N}^2\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;, $

 

sera plutôt écrit :

$\displaystyle \forall n,m \in \mathbb{N}\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;. $

 

(La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.) Ou encore,

$\displaystyle \exists n\in \mathbb{N} ,\;\exists m\in \mathbb{N} \;;\quad n+m<10\;, $

 

deviendra :

$\displaystyle \exists n,m\in \mathbb{N} \;;\quad n+m<10\;. $

 

(Il existe deux entiers dont la somme est inférieure à 10.) Constatez en la lisant à haute voix que la formule suivante définit bien la divisibilité.

$\displaystyle \forall m,n\in\mathbb{N} ,\;(m \vert n)\;\Longleftrightarrow\; \Big( \exists k\in\mathbb{N} \;;\quad n=km \Big)\;. $
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Bac20082008-Jun-9

بكالوريا 2008

لقد وقع أبنائنا ضحية سوء الإخراج في اختبار مادة الانكليزية بكالوريا 2008 و على وزارة التربية التدخل عبر وسائل الإعلام لطمئنة فلذات اكبادنا و تشجيعهم على مواصلة الإمتحان دون التأثر بما وقع في اليوم الاول ، لقد تأثرنا أيما تأثير لدموع أبنائنا و عملنا ما في وسعنا كأباء لرفع معنوياتهم على مواصلة الامتحان و لكن تدخلكم يا سيدي الوزير الذي نحن في انتظاره سيرفع معنوياتهم أكثر و يطمئننا نحن الأباء

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Ensembles2008-Jun-9

Ensembles

Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets mathématiques, appelés éléments, comme l'ensemble $ \mathbb{N}$ des entiers naturels. Contentez-vous pour l'instant de l'idée intuitive d'un paquet d'éléments possédant une propriété commune, sur lequel on a mis une étiquette rappelant cette propriété. Un ensemble n'est bien défini que si on peut dire sans ambiguïté si un élément appartient ou non à l'ensemble. Les sommets des Alpes ne forment pas un ensemble (comment décider qu'un endroit particulier est un sommet ?). Par contre l'ensemble des sommets cotés sur une carte donnée est bien défini. Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent les mêmes éléments.

Le fait qu'un élément $ x$ appartienne à un ensemble $ A$ se note $ x\in A$ , et son contraire $ x\notin A$ («$ x$ n'appartient pas à $ A$ »). Par exemple $ 2\in \mathbb{N}$ (2 appartient à $ \mathbb{N}$ ) et $ \sqrt{2}\notin\mathbb{N}$ (racine de 2 n'appartient pas à $ \mathbb{N}$ ). Certains ensembles souvent utilisés ont une notation propre, comme l'ensemble $ \mathbb{N}$ des entiers naturels, l'ensemble $ \mathbb{R}$ des nombres réels, l'ensemble $ \mathbb{C}$ des nombres complexes. Pour les autres, on utilise une définition, que l'on écrit entre accolades pour dire qu'il s'agit de l'ensemble des éléments vérifiant cette définition. On peut écrire un ensemble en extension, en donnant la liste de ses éléments. Voici deux définitions de l'ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 5.

$\displaystyle \{ n\in\mathbb{N}\;;\quad n<5 \}=\{ 0,1,2,3,4 \}\;. $

 

Cet énoncé se lit «ensemble des $ n$ appartenant à $ \mathbb{N}$ tels que $ n<5$ »  ou «ensemble des entiers strictement inférieurs à $ 5$ ». Voici deux définitions de l'ensemble des diviseurs de 12.

$\displaystyle \{ n\in\mathbb{N}\;;\quad n \vert 12 \} = \{ 1,2,3,4,6,12 \}\;. $

 

On peut aussi définir des ensembles en extension par une liste infinie. Le plus souvent, celle-ci se déduit de $ \mathbb{N}$ . Par exemple l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 5 :

$\displaystyle \{ n\in\mathbb{N}\;;\quad n\geqslant 5 \}=\{ n+5\;;\quad\;n\in\mathbb{N} \}\;, $

 

et l'ensemble des entiers pairs :

$\displaystyle \{ n\in\mathbb{N}\;;\quad 2 \vert n \}=\{ 2n\;;\quad n\in\mathbb{N} \}\;, $

 

Les ensembles que nous définirons seront des sous-ensembles ou parties d'un ensemble plus grand (comme l'ensemble des entiers $ \mathbb{N}$ dans les exemples précédents).

 

Définition 1   On dit qu'un ensemble $ A$ est un sous-ensemble ou une partie d'un ensemble $ E$ si tout élément de $ A$ est aussi élément de $ E$ .

 

Si $ E$ est l'ensemble de référence (l'ensemble des entiers dans nos exemples), l'ensemble des parties de $ E$ se note $ {\cal P}(E)$ . Il contient toujours $ E$ lui-même, ainsi que l'ensemble vide, noté $ \emptyset$ . Si $ A$ est un sous-ensemble (une partie) de $ E$ , on dit aussi que $ A$ est inclus dans $ E$ , et on note $ A\subset E$ . On note aussi $ E\supset A$ pour «$ E$ contient $ A$ ». Voici l'écriture en extension de $ {\cal P}(\{0,1,2\})$ , qui est l'ensemble des parties de l'ensemble à trois éléments $ \{0,1,2\}$ .

$\displaystyle {\cal P}(\{0,1,2\}) = \Big\{ \emptyset, \{0\},\{1\},\{2\}, \{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\} \Big\}\;. $

 

Un ensemble qui ne contient qu'un seul élément, comme $ \{0\}$ , est un singleton. L'ensemble $ {\cal P}(\{0,1,2\})$ contient 8 éléments, dont chacun est lui-même un ensemble. Il est fréquent (et souvent utile) de passer d'un ensemble $ A$ à l'assertion $ x\in \!A$ (vraie ou fausse). Les connecteurs logiques entre assertions («non», «et», «ou») se traduisent par des opérations ensemblistes : complémentaire, intersection, réunion. Nous utiliserons cette correspondance comme définition des opérations ensemblistes.
ensembles assertions
$ A,B$ $ (x\in A), (x\in B)$
complémentaire négation («non»)
$ {^c\!A}$ $ x\in{^c\!A}\Longleftrightarrow\neg(x\in A)\Longleftrightarrow x\notin A$
intersection («inter») conjonction («et»)
$ A\cap B$ $ (x\in A\cap B)\Longleftrightarrow \Big((x\in A)\wedge (x\in B)\Big)$
réunion («union») disjonction («ou»)
$ A\cup B$ $ (x\in A\cup B)\Longleftrightarrow \Big((x\in A)\vee (x\in B)\Big)$
Au travers de ce dictionnaire l'implication

$\displaystyle (x\in A)\Longrightarrow(x\in B)$, soit $\displaystyle (\neg(x\in A))\vee(x\in B)\;, $

 

devient $ x\in ({^c\!A}\cup B)$ . Elle est toujours vraie si et seulement si le complémentaire de $ ({^c\!A}\cup B)$ , est vide, c'est-à-dire si $ A$ est inclus dans $ B$ . Les propriétés $ (x\in A)$ et $ (x\in B)$ sont équivalentes si les deux inclusions $ A\subset B$ et $ B\subset A$ sont vraies, c'est-à-dire si les deux ensembles contiennent les mêmes éléments. On dit qu'ils sont égaux, et on note simplement $ A=B$ . Pour démontrer que deux ensembles sont égaux, on doit montrer que chacun est inclus dans l'autre (tout comme pour démontrer une équivalence, on doit montrer les deux implications). On déduit du théorème 1 les propriétés suivantes des opérations ensemblistes. Les démonstrations constituent un bon exercice de traduction, que nous laissons au lecteur. Nous conseillons aussi de remplacer $ A$ par $ \{n\in \mathbb{N} ;\;n\leqslant 6\}$ , $ B$ par $ \{n\in \mathbb{N} ;\;2 \vert n\}$ et $ C$ par $ \{n\in \mathbb{N} ;\;3 \vert n\}$ et d'écrire en extension tous les ensembles du théorème.

 

Théorème 2   Soient $ A$ , $ B$ et $ C$ trois ensembles. Les égalités ensemblistes suivantes sont toujours vraies.
$ \bullet$
Commutativité :

 

$\displaystyle \Big(A\cap B\Big) = \Big(B\cap A \Big)\;.$ (13)

 

 

$\displaystyle \Big(A\cup B \Big) = \Big(B\cup A\Big)\;.$ (14)

 

$ \bullet$
Associativité :

 

$\displaystyle \Big(A\cap (B\cap C)\Big) = \Big((A\cap B) \cap C \Big)\;.$ (15)

 

 

$\displaystyle \Big(A\cup (B\cup C)\Big) = \Big((A\cup B) \cup C \Big)\;.$ (16)

 

$ \bullet$
Distributivité :

 

$\displaystyle \Big(A\cap (B\cup C)\Big) = \Big((A\cap B)\cup(A\cap C)\Big)\;.$ (17)

 

 

$\displaystyle \Big(A\cup (B\cap C)\Big) = \Big((A\cup B)\cap(A\cup C)\Big)\;.$ (18)

 

$ \bullet$
Complémentaires : soient $ A$ et $ B$ des parties d'un ensemble $ E$ . Alors :

 

$\displaystyle E\setminus(E\setminus A)=A\;,$ (19)

 

 

$\displaystyle E\setminus(A\cup B)=(E\setminus A)\cap(E\setminus B)\;,$ (20)

 

 

$\displaystyle E\setminus(A\cap B)=(E\setminus A)\cup(E\setminus B)\;.$ (21)

 

 

Nous nous placerons toujours dans le cas où tous les ensembles considérés sont des parties d'un ensemble de référence $ E$ . Le complémentaire d'une partie $ A$ est alors implicitement défini comme l'ensemble des éléments de $ E$ qui n'appartiennent pas à $ A$ . Moyennant cette convention, le résultat d'une opération ensembliste quelconque sur des parties de $ E$ est encore une partie de $ E$ . Il est commode de visualiser $ E$ par un rectangle et les sous-ensembles de $ E$ par des «patates»  hachurées dessinées dans ce rectangle. Le résultat s'appelle un diagramme de Venn, plutôt qu'un sac de patates (figure 1). Nous conseillons au lecteur de visualiser les égalités ensemblistes du théorème 2 sur des diagrammes de Venn.
Figure 1: Diagrammes de Venn pour le complémentaire, l'intersection et la réunion.
\includegraphics[width=5cm, height=4cm]{Venna} \includegraphics[width=5cm, height=4cm]{Vennb} \includegraphics[width=5cm, height=4cm]{Vennc}

Il existe d'autres manières utiles de combiner des ensembles entre eux pour en former de nouveaux. Nous utiliserons plusieurs fois le produit cartésien.

 

Définition 2   Soient $ A$ et $ B$ deux ensembles. On appelle produit cartésien de $ A$ par $ B$ et on note $ A\times B$ l'ensemble des couples formés d'un élément de $ A$ et un de $ B$ .

$\displaystyle A\times B = \{ (a,b) \;;\quad a\in A$    et $\displaystyle b\in B \}\;. $

 

 

Le produit cartésien de $ A$ par lui-même se note $ A^2$ . On le généralise à plus de deux copies de $ A$ en définissant $ A^n$ comme l'ensemble des $ n$ -uplets formés d'éléments de $ A$ .

$\displaystyle A^n = \{ (a_1,\ldots,a_n) ,\;(a_1\in A)\wedge\ldots\wedge(a_n\in A) \}\;. $

 

Attention, dans un $ n$ -uplet, certaines coordonnées peuvent être identiques et l'ordre est important. Par exemple, si $ a$ et $ b$ sont deux éléments distincts de $ A$ , les triplets $ (a,b,a)$ et $ (a,a,b)$ sont des éléments distincts de $ A^3$ .

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BIOGRAPHIE AL-KHAWARIZMI2008-Jun-8
Abû `Abd Allah Muhammad ben Mūsā al-Khawārizmī (arabe أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ) né vers 783 à Khiva dans le Khwarezm qui a donné son nom, décédé vers 850 à Bagdad), mathématicien perse, est l'auteur de l'ouvrage intitulé Al-ĵabr wa'l-muqābalah (الجبر و المقابلة - Al-jabr wa’l-muqâbalah), qui signifie « La transposition et la réduction », publié en 825. Le terme al-jabr fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre. Son autre ouvrage, disparu, Kitāb 'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bī h'isāb ’al-Hind (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند - Kitâb ’al-jâmi‘ wa’l-tafrîq bî h'isâb ’al-Hind, « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul indien »), est le premier à parler du système des chiffres indiens.

Le livre contient six courts chapitres, consacré chacun à un type particulier d'équation. Il ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou mâl, l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, la constante est le dirham ou adǎd.

Son nom, al-Khuwārizmī, latinisé au Moyen Âge en Algoritmi, puis en Algorisme par les Européens, est à l'origine du mot algorithme, qui veut dire « procédure ». En revanche le principe des algorithmes était connu depuis l'Antiquité (algorithme d'Euclide), et Donald Knuth mentionne même leur usage par les Babyloniens.

De manière anecdotique, on doit aussi à ’al-Khuwārizmī la tradition consistant à appeler l'inconnue d'une équation mathématique X. En effet, dans son ouvrage ’Al-ĵabr wa'l-muqābala, il expose une méthode (un algorithme au sens propre, donc) pour expliciter une inconnue, ou šay', littéralement « chose », dans une équation du premier degré, en utilisant des ĵabr, « soustractions » (ou « transpositions ») et des muqābala, « égalités » (ou confrontation de deux entités). Après plusieurs avatars, šay ’ (écrit xay en espagnol ancien) a fini par donner X.

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